Oko matematičara

Vruć je julski dan u Londonu i idem autobusom za Blumsberi. Često dolazim ovde zbog Britanske biblioteke, Britanskog muzeja ili knjižare London Revju. Blumsberi je više od puke lokacije, oseća se kao da ste zakoračili u umetničko delo – možda jednu od priča Virdžinije Vulf ili sliku Dankana Granta.

Ovog puta sam ovde zbog matematike: Hardijeva predavanja u Londonskom matematičkom društvu (LMS), nazvana po G. H. Hardiju, profesoru matematike na Univerzitetu u Kembridžu, članu Blumsberi grupe i predsedniku LMS-a. Možda ga poznajete iz filma „Čovek koji je poznavao beskonačnost“ (2015), sa Džeremijem Ajronsom u glavnoj ulozi.

Predavanje 2025. godine održaće Emili Ril sa Univerziteta Džons Hopkins u Baltimoru, koja govori o složenom matematičkom „jeziku“ poznatom kao teorija beskonačnih kategorija: možemo li ga naučiti računarima da ga razumeju? Ako bude uspešno, računarski programi bi mogli da verifikuju dokaze i konstruišu složene strukture u ovoj oblasti.

Nekoliko mesta levo od mene, prepoznajem Kevina Bazarda, u šarenim šarenim pantalonama po kojima je poznat među matematičarima. Sa sedištem na Imperijal koledžu u Londonu, Bazard radi na asistentu za računarske dokaze pod nazivom Lean. Njegovo interesovanje je lično: nakon dugih sporova sa kolegom oko pogrešnog dokaza, izgubio je veru, kako često kaže, u „ljudske matematičare“. Njegova misija je sada da ubedi sve matematičare da pišu svoje dokaze u Lean-u. U sesiji pitanja i odgovora nakon jednog od svojih predavanja, rekao je o debati između istine i lepote u matematici: „Odbacujem lepotu, želim rigoroznost“ - iako njegov živahni osećaj za modu sugeriše drugačije.

Interesovanje za pristupe matematici zasnovane na veštačkoj inteligenciji eksponencijalno je poraslo, a mnogi matematičari napuštaju tradicionalna akademska istraživanja kako bi istražili njihov potencijal. Nedavno je grupa istaknutih matematičara osmislila 10 pitanja na aktivnom istraživačkom nivou koja bi veštačka inteligencija trebalo da reši. U vreme pisanja ovog teksta, razne kompanije i istraživači veštačke inteligencije tvrdili su da su pronašli rešenja, koja su bila pod procenom zajednice.

Sedeći u sobi u Blumsberiju, zurio sam u Hardijevu tablu i pitao se: da li bi Hardi smatrao dokaze koje generiše veštačka inteligencija lepim? Nisam bio siguran. Verovao je da u matematici treba da postoji jak estetski sud, povlačeći paralele sa poezijom, i tvrdio je da je lepota prvi test dobre matematike. Otišao je toliko daleko da je rekao da u svetu nema stalnog mesta za ružnu matematiku.

Ako ih pitaju, mnogi matematičari danas i dalje govore o estetskoj privlačnosti jednog pristupa u odnosu na drugi.

Međutim, živimo u drugom veku od Hardija i njegovih kolega iz Blumsberija, sa drugačijim tehnologijama i tehnikama, pa nam je možda potrebna jasnija definicija šta je zapravo matematička lepota. Kroz istoriju matematike možemo pronaći primere gde su i strogost i težnja ka lepoti oblikovali samu matematiku. Dakle, ako ovo u potpunosti zamenjujemo računarski potpomognutom potragom za istinom i strogošću, trebalo bi da znamo šta bismo žrtvovali, ako išta. Da li je matematička lepota poput lepote u književnosti i umetnosti - ili je to nešto drugo?

Često je teško definisati koncept, posebno lepotu. Čini se lakšim odgovoriti na pitanje šta nije nego šta jeste. Ne postajete potpuno prosvetljeni, ali bar vidite svetlost u tami. Zato hajde da započnemo apstraktni zadatak opisivanja „onoga što nije“ sa primerom ne baš lepog dokaza takozvanog „problema bojenja grafa“.

Problemi bojenja su deo teorije grafova, grane matematike koja proučava pitanja koja se tiču konfiguracija čvorova i ivica između njih. Mnogi složeni problemi u svakodnevnom životu ili nauci mogu se inteligentno svesti na graf sa određenim svojstvima.

Problem bojenja mape je možda najpoznatiji primer. Pitanje se odnosi na minimalan broj boja potrebnih za bojenje mape zemalja tako da nijedne dve zemlje koje dele granicu nemaju istu boju. Da biste ovo eksplicitno videli, uzmite graf sa četiri čvora - da li je moguće obojiti stranice ovog grafa sa dve boje? Ako ne, koliko je barem potrebno boja?

Pošto graf ima četiri čvora, možete isprobati sve moguće kombinacije. Nemoguće ih je obojiti samo sa dve boje, jer dva trougla nužno moraju biti obojena isto, što je kršenje pravila zbog zajedničke ivice. Ako povećate broj čvorova ili ivica i postavite isto pitanje, možete uraditi istu stvar - isprobati sve kombinacije. Možda će vam trebati mnogo listova papira, boja i dana, a možda i nekoliko asistenata da proverite da li ste razmotrili sve moguće kombinacije. Bez obzira na efikasnost i uprkos nedostatku elegancije, to je u principu moguće.

Svi matematičari će klimnuti glavom na ovaj dokaz kao tačan; u zavisnosti od veštine rešavača problema, mogli bi čak i reći: „Odlično!“ Ali niko, živ ili mrtav, neće se osmehnuti ovom dokazu ili reći: „Vau!“ Nijedna od ovih reakcija nije namerna - to je stvar ukusa. Isprobavanje svih kombinacija je zamorno i dosadno. Ne nudi nikakvu novu perspektivu niti uspostavlja bilo kakvu pronicljivu ideju ili tehniku. Matematičari ne smatraju ovaj dokaz elegantnim, lepim ili uzvišenim osim ako induktivni pristup broju čvorova i ivica ne otkrije obrazac ili ne pokrene uvid. Čak i tada, sama indukcija ne označava nikakvu lepotu, ali uvid, otkriveni obrazac ili buduća perspektiva izgrađena na njemu bi mogli.

Isto važi i za govornike engleskog jezika koji ne pronalaze lepotu u jednostavnoj činjeničnoj rečenici „Pada kiša“, ali je pronalaze u pesmi Henrija Vodsvorta Longfeloa „Kišni dan“ (1841):

Moj život je hladan, mračan i turoban;
pada kiša, a vetar nikada ne prestaje;

U matematici tražite izvanrednu sliku. Ne želite da vidite obično. Čak i ako koristite običan metod ili sliku da biste dokazali postojanje iskaza, na kraju niste zadovoljni. Zato matematičari iznova i iznova dokazuju istu teoremu: traže lep dokaz. Ovaj pokušaj se razlikuje od kopiranja Tajne večere ili vajanja Davida mnogo puta. Fenomen – kiša – je isti, ali svaka pesma slika drugačiju sliku ili otkriva drugačiji ugao, i stoga izaziva različite senzacije.

Hardi nije bio jedini koji je video poeziju. Mađarski matematičar iz 20. veka, Paul Erdeš, takođe je verovao u estetsko prosuđivanje u matematici, tvrdeći da Bog održava savršene dokaze za sve teoreme u knjizi koju je Erdeš nazvao „KNJIGA“. Iako sam nije bio vernik, Erdeš je koristio Boga kao metaforu u predavanju iz 1985. godine, rekavši da ne morate verovati u Boga, ali da, kao matematičar, svakako treba da verujete u KNJIGU. Erdeš je umro pre nego što je mogao da završi svoju verziju ove hipotetičke knjige, ali većinu dokaza je odabrao ili prepisao on i objavio posthumno kao Dokazi iz KNJIGE (1998). Erdešova knjiga je stoga bila njegova karakterizacija elegantnih i lepih dokaza, kao da ih je viša ruka već napisala, a mi smo samo imali zadatak da ih otkrijemo.

Matematički i fizičari se često hvale svojim „Erdešovim brojem“, definisanim stepenom njihove udaljenosti od njega u smislu saradnje. Možda ovo ne samo da pokazuje bliskost sa samim Erdešem, već i sa onim koji je, prema legendi, imao pristup konačnoj verziji KNJIGE.

Erdešova perspektiva je povezana sa Platonovom teorijom formi. Suprotno subjektivnoj teoriji estetike, ovaj pogled opisuje savršen svet koji sadrži sve lepote i platonske ideale našeg nesavršenog sveta. Nikada ne dostižemo ove savršene oblike, ali im možemo pristupiti kroz naše teorije, objekte, dokaze i sve što možemo da zamislimo.

Stoga, diskusija o lepoti ne bi trebalo da se ograniči samo na dokaze. Na kraju krajeva, postoje i druge matematičke tehnike, uvidi ili teoreme, koje zajednički nazivam matematičkim strukturama.

Na primer, iskaz se formalno naziva pretpostavka. A kada se za pretpostavku može pružiti dokaz, ili formalni dokaz, onda ona postaje teorema, a ako nije značajna teorema, naziva se lema. Neke teoreme ostaju nerešene i stoga ostaju pretpostavke. Ako matematička zajednica proceni da je dokazivanje pretpostavke teško, ona postaje otvoreni problem.

Šta ako bi se, umesto dokaza, mogla pronaći divna pretpostavka, algoritam ili strategija za problem bojenja mape? Problem je jedan od najdramatičnijih u istoriji matematike, sa nekoliko značajnih uspona i padova. Godine 1852, Fransis Gatri, bojeći mapu Engleske, pretpostavio je da bi se bilo koja mapa obojila tako da nijedna dve zemlje koje dele granicu nemaju istu boju, potrebne su nam ne više od četiri boje – to jest, pretpostavka o četiri boje.

Pretpostavku je Augustu De Morganu – zgrada LMS-a je nazvana po njemu – preneo Gatrijev brat, koji je studirao na Univerzitetskom koledžu u Londonu. De Morgan ju je pomenuo Vilijamu Rouanu Hamiltonu, a Hamilton Arturu Kejliju. Kejli je na kraju objavio problem na LMS-u. Godine 1879, Alfred Kemp je objavio rad u kojem je tvrdio da je utvrdio rezultat. To je dovelo do Kempovog izbora u Kraljevsko društvo, a kasnije i do toga da postane predsednik LMS-a.

Godine 1890, dokazi su se pokazali pogrešnim. Ali nije sve što je pogrešno beskorisno. Persi Džon Hivud je identifikovao nedostatke u Kempovom argumentu i uspostavio dokaz problema pet boja koristeći Kempove tehnike. Problem četiri boje ostao je otvoren čitav vek, sve dok konačno nije dokazan 1977. godine korišćenjem računarskog softvera. Ovo je označilo početak računarski potpomognutih dokaza.

Dokaz koristi „metodu pražnjenja“: u suštini, kompjuterski program pronalazi sve moguće konfiguracije, pretvara ih u mrežu tačaka povezanih linijama, zatim dodeljuje brojeve (naelektrisanja) svakoj tački i pomera te brojeve prema određenim uslovima. Ključni uvid je da ako bi mapi zaista bilo potrebno više od četiri boje, ovi brojevi se ne bi tačno sabirali kada bi se proverili u odnosu na Ojlerovu karakterističnu formulu, fundamentalnu jednačinu korisnu za analizu mreža. Algoritam se može učiniti sofisticiranijim i efikasnijim, ali sve varijante zahtevaju, do određene mere, učešće računara.

Da li smatrate da je ovo lep dokaz? Tokom proteklih nekoliko meseci, postavio sam mnogim starijim matematičarima isto pitanje, i da li imaju određene kriterijume ili pravila za odlučivanje i otkrivanje lepih matematičkih struktura. Odgovori nisu bili jednostavni i bili su iznenađujuće različiti. Ali većina je pomenula da dobar matematički rad treba da bude jednostavan. „Šta podrazumevate pod jednostavnim?“ pitao sam mnogo puta, i to je bila jedna od tačaka neslaganja. Jednostavnost nema isto značenje za matematičare, čak ni za one koji rade u istoj oblasti. Neki se pozivaju na broj redova u dokazu; neki misle na njegovu samodovoljnost, kao što je potreba za malo citata drugih lema; neki misle na jednostavnost ideje dokaza ili čak iskaza teoreme. Na primer, da li je centralna ideja dovoljno jednostavna da se objasni – i razume – laiku, čak i ako su tehnike i potpuni dokaz složeni i zahtevaju obuku i matematičko znanje?

Jednostavnost, tvrdim, je prvi ukus lepote, iz istog razloga zbog kojeg je Hardi verovao da je matematika srodna poeziji, a ne prozi. U tom smislu, jednostavnost ne protivreči dubini matematičke ideje. Ali, kao i poezija, test leži u hvatanju i opisivanju slike kroz precizan izbor niza reči u sažetoj, ali dubokoj strukturi. Jednostavnost matematičkog dokaza je izraz niza tehnika, a ne same slike. Slika može biti složena, ali transparentna, kao što ću objasniti.

Dok se dvosmislenost slavi u poeziji, ona se sramoti u matematici. Matematičar ne pokušava da stvori dvosmisleno matematičko delo; zapravo, transparentnost je lakmus test pravog nivoa jednostavnosti u matematici. Jedan od ciljeva jednostavnosti je smanjenje dvosmislenosti i stvaranje transparentnosti. Pod dvosmislenošću ne mislim na neadekvatnost čitaoca. Laička tvrdnja o dvosmislenosti u dokazu Fermatove poslednje teoreme Endrua Vajlsa iz 1995. godine nije presuda, jer je čitalac u ovom slučaju neadekvatnost. Ali jednostavna struktura namerno dizajnirana da bude dvosmislena je pesma, a ne matematičko delo.

Koja verzija jednostavnosti? Da li je to izjava, ideja ili izvođenje tehnika? Možda sve ovo igra ulogu; lepa struktura može, donekle, predstavljati sve njih. Ali ne smatra se sve jednostavno lepim. Da se ​​vratimo na analogiju poezije, ne čini svaki jednostavan niz jednostavnih reči lepu pesmu. U delu „Poetska slika“ (1947), Sesil Dej-Luis je rekao da niz nevinih ili naizgled beznačajnih reči može izazvati najjača osećanja, u zavisnosti od slike i metafore koju stvara. Pomenuo je pesmu Roberta Brauninga „Na vašaru - dole u ​​gradu“ (1855):

Divlja lala, na kraju svoje cevi, duva u svoje veliko crveno zvono
poput tankog, providnog mehura krvi, koji deca beru i prodaju.

Dej-Luis se divio veštini i transformaciji staklarstva u senzualnu sliku; ali za njega se slika iznenada promenila u drugu, emotivniju kada je čuo „deca“ - ne samo slika, već se iznenada promenila i priroda reakcija i emocija. Reč „deca“ je jednostavna i nevina, ali njeno supostavljanje unutar ove slike transformiše je u nešto složeno, neskladnu sliku koja izaziva različite faze emocionalnog odgovora. U ovom slučaju, poetska slika je duboka, slojevita i emocionalno napeta, dok struktura i reči ostaju jednostavne.

Slična situacija može se desiti u matematici: niz jednostavnih lema ili definicija može stvoriti složenu i lepu ideju ili sliku. Uzmimo Raselov paradoks – koji je identifikovao Bertrand Rasel početkom 1900-ih – koji tvrdi da „univerzalni skup“ ne postoji. Ovaj paradoks je značajan i potresao je temelje matematike. O njegovim filozofskim implikacijama napisani su tomovi, a alternativni fundamentalni metamatematički jezici su delimično razvijeni kao odgovor na njega – na primer, teorija kategorija i teorija tipova. U ovom slučaju, i iskaz i dokaz su jednostavni i zahtevaju samo nekoliko intuitivnih koncepata za razumevanje. Međutim, ideja otkriva mnogo dublju i fundamentalniju sliku.

To ide ovako. U matematici, skup je skup stvari koje ponekad dele zajedničko svojstvo. Većina skupova o kojima razmišljamo nisu članovi samih sebe. Na primer, skup svih mačaka nije sam mačka, tako da ne sadrži samog sebe.

Zamislimo da postoji skup, nazvan R, koji sadrži sve skupove koji ne sadrže samog sebe. U matematičkoj notaciji, to izgleda ovako:

 Ali šta je sa samim R? Da li R sadrži R ili ne? Odgovor je ni jedno ni drugo!

Možemo, kontradiktorno, dokazati da takav skup ne može postojati. Prvo, pretpostavimo da je R član samog sebe. Po definiciji, svaki član R ne sme da sadrži samog sebe, tako da ovo ne može biti tačno. Ali takođe nije moguće da R nije član samog sebe. U tom slučaju, R zadovoljava definišući uslov da bude uključen u R - to je skup koji ne sadrži samog sebe. Stoga, R mora biti u R, što je ponovo u suprotnosti sa pretpostavkom.

Dakle, skup definisan na ovaj način - onaj koji sadrži sve skupove koji ne sadrže samog sebe - ne može postojati. Shodno tome, univerzalni skup koji sadrži sve skupove, uključujući i samog sebe, ne postoji.

Suprotno se dešava kada je matematička izjava ili teorema jednostavna, ali su dokaz ili ideje i tehnike koje stoje iza nje složeni. Primer je Fermaova poslednja teorema. On tvrdi da nijedna tri pozitivna cela broja - a, b, c - ne zadovoljavaju sledeću jednačinu za bilo koji ceo broj n>2:

Ovo je toliko jednostavno da je desetogodišnji Endru Vajls mogao da čita, razume, pa čak i sanja o rešavanju do kraja života. Ali njemu su bile potrebne - i mnogim matematičarima pre njega - godine učenja i izmišljanja novih, veoma složenih tehnika u algebarskoj teoriji brojeva da bi ga rešio. Čak i danas, lepotu Vajlsovog dokaza ceni samo nekolicina.

I Raselov paradoks i Fermaova poslednja teorema nisu samo jednostavni, već i iznenađujući – element koji predstavlja drugu karakteristiku lepote. Slično jednostavnosti, iznenađenje nema fiksno tumačenje. Verujem da je još teže formalizovati ga. Matematičari koji rade u određenoj oblasti navikavaju se na određene tehnike dokazivanja, leme i osnovne teoreme. To je u suštini njihov glavni alat. Rečeno prilično naivno, kao matematičar, vaša uloga je da odaberete relevantne alate i rasporedite ih u smislen niz koji diktira logika. Jedan primer iznenađujućeg trenutka je kada neko pokuša da dokaže teoremu u algebri i pozajmi tehniku iz geometrije, a zatim je restrukturira da bi je učinio korisnom i relevantnom u algebri.

Pozajmljivanje tehnika iz drugih disciplina je još jedna vrsta abrakadabre. Mnogi matematičari pozajmljuju tehnike iz fizike, uključujući kvantnu gravitaciju, da bi dokazali teoreme u geometriji ili topologiji eliminišući sve fizičke termine i svođenjem na njihove suštinske matematičke argumente. Iznenađujuće je jer ne mnogi mogu da vide složen argument u fizici, da ga u potpunosti razumeju, prozru kroz njega, preseku dodatne grane i pronađu suštinu.

Ovi trikovi izazivaju trenutak strahopoštovanja jer, u suštini, prevazilaze očekivanja. Potrebno je „oko“. Ali ne može svako oko da ga uhvati; iskustvo može igrati ulogu, ali nije dovoljno. Za to, tvrdim, potrebna je „vitalnost“, kao u poeziji.

Dej-Luis je sugerisao da objekat nije samo poetan sam po sebi; on postaje poetan zbog pesnika. Dobri pesnici imaju visoku vitalnost; oni žive u sadašnjosti, ili, kako je to rekao književni naučnik Džon Livingston Lous, oni se ne naseljavaju poput pustinjaka, generacija za generacijom, u odbačene ljušture svojih prethodnika. Oni posmatraju svežim okom kako bi videli originalnu misao. U stvari, originalnost slike koju vide direktno je povezana sa njihovom vitalnošću i koliko su povezani sa sadašnjim trenutkom. Objekat postaje intenzivno poetan kao rezultat njihovog prisustva u trenutku.

Matematički objekti, tehnike i sve leme su isti. Ponekad ih iskusan tehnički matematičar čak zna napamet i uči ih svake godine. Oni velikodušno predstavljaju otvorene probleme početnicima matematičarima i strpljivo dele svaki detalj svog napretka. Međutim, potreban je tek diplomirani doktorant da bi video originalnu sliku ili dokaz IZ KNJIGE. To, tvrdim, je zbog njihove visoke vitalnosti. Ovo dalje rezultira vitalnošću matematičke strukture; struktura ne umire niti se izoluje. Ona se kreće, uzbuđuje i stvara - u suštini, živa je.

Zaključno, moja definicija lepote u matematici bi bila sledeća:

Jednostavna matematička struktura koja iznenađuje čak i najiskusnije matematičare i prenosi osećaj vitalnosti.

Ali da li je dokaz uz pomoć veštačke inteligencije jednostavan ili iznenađujući? Kako definišemo vitalnost u mašini? Porota još nije donela odluku o ovim pitanjima. Lično sam podeljen. Možda modelima samo treba više obuke da bi odgovarali našoj kreativnosti. Ali se takođe pitam da li je potreban naš limbički sistem. Možemo li pisati dokaze bez emocionalnih stimulusa? Takođe nisam siguran da li savršeno efikasni mozgovi mogu da smisle revolucionarne nove ideje.

U krajnjoj liniji, ova debata je više od estetike; ona je usko povezana sa razvojem matematike koju podržava veštačka inteligencija. Ako modeli veštačke inteligencije mogu da proizvedu nove matematičke strukture, kako bi trebalo da ih usmeravamo? Da li je to potraga za lepim strukturama ili za pravim strukturama? Pitanje koje bi moglo da vodi godine koje dolaze.

Neki matematičari kažu da više vole „istinu“ i samo „istinu“. Međutim, moji nedavni razgovori sa matematičarima pokazali su mi da većina njih odmah prepoznaje, uživa, pa čak i od srca se osmehuje lepom matematičkom primerku. U stvari, ceo život provode tražeći jedan.