- Albert Einstein o Gödelovoj teoremi o nepotpunosti iz 1931. godine
„Jedinstveno i monumentalno - zaista je više od spomenika, to je znamenitost koja će ostati vidljiva daleko u prostoru i vremenu. Predmet logike više nikada neće biti isti.“ von Neumann
GEDEL
Početkom 20. veka, naučni svet je bio opijen optimizmom. Čuveni matematičar David Hilbert verovao je da smo na pragu "konačnog rešenja": da ćemo uskoro imati savršen sistem pravila koji može da dokaže svaku istinu u matematici. Njegov moto bio je jasan i proročki: "Moramo znati, i znaćemo!"
Međutim, 1931. godine, mladi i tada malo poznati matematičar i logičar Kurt Gedel (Kurt Gödel) bacio je bombu u same temelje ljudskog znanja. Njegove teoreme o nepotpunosti nisu samo promenile matematiku; one su postavile nepremostivu granicu našem razumevanju stvarnosti.
Logička zamka: Istina naspram dokaza
Gedelov genije ležao je u tome što je uspeo da matematički formuliše drevni logički paradoks. Zamislite rečenicu: "Ova tvrdnja se ne može dokazati."
Ako sistem uspe da je dokaže, onda je sistem kontradiktoran (jer je dokazao nešto što tvrdi da je nedokazivo). Ako je sistem dosledan, onda je ta tvrdnja istinita, ali je sistem ne može dokazati.
Gedel je pokazao da svaki dovoljno složen sistem (onaj koji obuhvata bar osnovnu aritmetiku) neizbežno sadrži ovakve "rupe". Postoje istine koje su nam nadohvat ruke, koje vidimo i osećamo da su tačne, ali do kojih naš logički aparat ne može da izgradi most.
Postoje čuvene nedokazive hipoteze. Na primer Goldbahova hipoteza: svaki paran broj veći od 2 je zbir dva prosta broja. Proverili smo je za trilione brojeva i uvek je tačna. Međutim, niko je još nije dokazao. Moguće je da je Goldbahova hipoteza jedna od tih "gedelovskih" istina: ona je jednostavno tačna po prirodi brojeva, ali ne postoji lanac logičkih koraka u našoj standardnoj matematici koji bi nas doveo do kraja tog dokaza.
Univerzum kao zatvoren sistem
Ovde dolazimo do fascinantnog spoja sa astronomijom i fizikom. Ako posmatramo univerzum kao jedan grandiozan formalni sistem, gde su zakoni fizike njegovi aksiomi, a kretanje zvezda i galaksija njegove "teoreme", suočavamo se sa uznemirujućim zaključkom.
Mi smo posmatrači iznutra. Kao likovi u kompleksnoj video-igri, pokušavamo da razumemo izvorni kod te iste igre koristeći samo alate koji su nam u njoj dostupni. Gedel nam sugeriše da je to nemoguće.
Ako je univerzum logički dosledan (a verujemo da jeste), u njemu moraju postojati fundamentalne istine o prostoru, vremenu i materiji koje su apsolutno tačne, ali koje se nikada ne mogu izvesti iz samih zakona fizike. Da bismo ih dokazali, morali bismo da izađemo "napolje" – izvan granica prostora i vremena – što je po definiciji nemoguće.
Kraj sna o "Teoriji svega"?
Fizičari decenijama tragaju za "Teorijom svega" (Theory of Everything), jedinstvenom jednačinom koja bi objasnila sve sile u prirodi. Čak je i Stiven Hoking (Stephen Hawking) decenijama verovao da smo blizu cilja. Ipak, pred kraj života, Hoking je javno priznao da je bio u zabludi, navodeći upravo Gedela kao razlog.
"Neki ljudi će biti razočarani ako ne postoji konačna teorija koja se može formulisati kroz konačan broj principa. Ja sam nekada pripadao tom klanu, ali sam se predomislio... Gedelova teorema garantuje da će uvek biti posla za fizičare i matematičare." – Stiven Hoking
Ako je univerzum beskonačan u svojoj složenosti, nijedan skup jednačina ispisan na papiru nikada neće moći da ga "zatvori". Uvek će postojati fenomen koji izmiče, "gedelovska rečenica" ispisana zvezdanom prašinom koja je istinita, ali nedokaziva.
Svest kao meta-sistem
"Neki ljudi će biti razočarani ako ne postoji konačna teorija koja se može formulisati kroz konačan broj principa. Ja sam nekada pripadao tom klanu, ali sam se predomislio... Gedelova teorema garantuje da će uvek biti posla za fizičare i matematičare." – Stiven Hoking
Ako je univerzum beskonačan u svojoj složenosti, nijedan skup jednačina ispisan na papiru nikada neće moći da ga "zatvori". Uvek će postojati fenomen koji izmiče, "gedelovska rečenica" ispisana zvezdanom prašinom koja je istinita, ali nedokaziva.
Svest kao meta-sistem
Možda najuzbudljiviji deo ove priče leži u našoj svesti. Mi smo jedini deo univerzuma koji je svestan ove nepotpunosti. Sposobnost ljudskog uma da "uvidi" istinitost Gedelove rečenice, koju mašina (sistem) ne može da izračuna, navodi mnoge mislioce na zaključak da ljudska intuicija nadilazi čistu algoritamsku logiku.
Mi nismo samo pasivni delovi sistema; mi smo "prozor" kroz koji sistem pokušava da sagleda sebe iz meta-perspektive.
Čari beskonačne potrage
Gedelova teorema se često interpretira kao pesimistična – kao priznanje našeg neznanja. Zbog toga je izbegavana, nedobijajući potvrdu svog značaja. Bilo je potrebno da prođe skoro ceo vek od njenog nastanka da bi je veliki fizičari prihvatilli i promenili svoje prethodne stavove kao što je učinio Stiven Hoking. Potvrdu prihvatanja nalazimo i u radu grupe fizičara o nepostojanu Matriksa (vidi OVDE).
Ali za ljubitelje astronomije, Gedelova teorema je zapravo oslobađajuća. Ona nam poručuje da je kosmos uvek "veći" od našeg uma.
Univerzum nije problem koji se može rešiti i arhivirati. On je živa, otvorena knjiga u kojoj uvek postoji novo poglavlje, nova istina i nova misterija koja čeka da bude naslućena, čak i ako nikada ne bude mogla biti dokazana do kraja.
Izvor
Mi nismo samo pasivni delovi sistema; mi smo "prozor" kroz koji sistem pokušava da sagleda sebe iz meta-perspektive.
Čari beskonačne potrage
Gedelova teorema se često interpretira kao pesimistična – kao priznanje našeg neznanja. Zbog toga je izbegavana, nedobijajući potvrdu svog značaja. Bilo je potrebno da prođe skoro ceo vek od njenog nastanka da bi je veliki fizičari prihvatilli i promenili svoje prethodne stavove kao što je učinio Stiven Hoking. Potvrdu prihvatanja nalazimo i u radu grupe fizičara o nepostojanu Matriksa (vidi OVDE).
Ali za ljubitelje astronomije, Gedelova teorema je zapravo oslobađajuća. Ona nam poručuje da je kosmos uvek "veći" od našeg uma.
Univerzum nije problem koji se može rešiti i arhivirati. On je živa, otvorena knjiga u kojoj uvek postoji novo poglavlje, nova istina i nova misterija koja čeka da bude naslućena, čak i ako nikada ne bude mogla biti dokazana do kraja.
Izvor
SEĆANJA NA GEDELA
BRAT
Kurt je pohađao školu u Brünnu, a školovanje je završio 1923. godine . Njegov brat Rudolf je izjavio:
Čak i u srednjoj školi, moj brat je bio nešto jednostraniji od mene i, na zaprepaštenje svojih nastavnika i kolega iz razreda, savladao je univerzitetsku matematiku do završnih godina gimnazije . ... Matematika i jezici su bili daleko iznad programa književnosti i istorije. U to vreme se pričalo da je tokom celog njegovog boravka u srednjoj školi njegov rad iz latinskog jezika ne samo uvek dobijao najviše ocene, već da nije napravio ni jednu gramatičku grešku.
Rudolf, Gödelov brat, bio je lekar, tako da će medicinski detalji koje je on dao u nastavku biti tačni. Napisao je:
Moj brat je imao vrlo individualno i fiksno mišljenje o svemu i teško ga je bilo uveriti u suprotno. Nažalost, celi je život verovao da je uvek u pravu ne samo u matematici već i u medicini, tako da je bio vrlo težak pacijent za doktore. Nakon jakog krvarenja iz čira na dvanaestopalačnom crevu... do kraja života se pridržavao izuzetno stroge ( prestroge? ) dete koja je uzrokovala da polako gubi na težini.
Četrnaestog februara 1933. godine von Neumann je iz Budimpešte napisao sledeće pismo Gödelu (Rédei, 2005):
Poštovani gospodine Gödel,
Upravo sam se vratio u Evropu iz Princetona i bio bih veoma sretan ako bi se tokom mog boravka u Evropi ukazala prilika da vas upoznam. Krajem septembra se vraćam u Princeton, gdje ću u budućnosti provoditi dva semestra godišnje, jer sam dobio ponudu od novog Bamberger-Flexner "Instituta za napredne studije", koju sam prihvatio.
Možda biste željeli znati više nego što ste do sada saznali iz kratke prepiske o uvjetima u Princetonu i o strukturi ovog novog Instituta, čiji ćete, srećom, sljedeće godine postati član. Stoga Vam, prije svega, a također i na Veblenov zahtjev, pišem da Vam rado pružim sve informacije koje bi Vas mogle zanimati.
Možda se možemo i sresti nekad i negdje -- ovog ljeta ću vjerovatno i dalje predavati u Berlinu (posljednji put), a više puta ću biti u Beču ili putovati kroz njega. Kakav je vaš program?
S najsrdačnijim pozdravima, koje Vas molim da prenesete i Mengeru i Hahnu,
S poštovanjem, Johann von Neumann
Karl MENGER
U svojim memoarima, Menger opisuje promenjenog Gödela, pišući:
Gödel je bio povučeniji nakon povratka iz Amerike nego prije; ali je i dalje razgovarao s posjetiteljima Kolokvija, [...] posebno s Waldom i Tarskim [...]. Svim članovima Kolokvija Gödel je bio velikodušan s mišljenjima i savjetima o matematičkim i logičkim pitanjima. Dosljedno je brzo i temeljito uočavao problematične tačke i davao odgovore s najvećom preciznošću u minimalnom broju riječi, često otvarajući nove aspekte za ispitivača. Sve je to izražavao kao da se potpuno podrazumijeva, ali često s određenom stidljivošću čiji je šarm budio tople lične osjećaje prema njemu kod mnogih slušalaca. - Odlomak, Sećanja Kurta Gedela Karla Mengera (1981)
Tokom turbulentne decenije koja je obuhvatala 1930-te, Gödel nije uspeo održati dovoljno predavanja da bi obnovio svoju Lehrbefugnis licencu, licencu koja mu je omogućavala da zarađuje novac na Univerzitetu u Beču. Istovremeno, čekajući poziv za vojnu dužnost, bilo je malo verovatno da će mu biti dozvoljeno da napusti zemlju. Ovu poteškoću je saopštio von Neumannu i Flexneru, koji su učinili sve što su mogli da mu pomognu da dobije američku vizu, što bi omogućilo nemačkim vojnim vlastima da ga oslobode (Dawson, 2006). Pišući Flexneru 27. septembra, von Neumann iznosi Gödelove argumente u njegovo ime (Rédei, 2005):
Von Neumann navodi pet argumenata koje treba izneti u Gödelovo ime. Najzanimljiviji je njegov drugi, koji je u celosti uključen u nastavku:
„Sa savršenim opravdanjem se može tvrditi da je Gödel nezamenjiv za naš obrazovni program. Zaista, Gödel je apsolutno nezamenjiv; on je jedini živi matematičar o kojem bih se usudio izneti ovu tvrdnju.“
On predstavlja veoma važnu granu matematike, formalnu logiku, u kojoj nadmašuje sve ostale u mnogo većem stepenu nego što se to obično dešava u bilo kojoj drugoj grani matematike.
Zaista, čitav moderni razvoj formalne logike koja se tiče "neodlučivih pitanja", rešenje poznate "hipoteze kontinuuma" i sasvim neočekivane veze između ove oblasti i drugih delova matematike, u potpunosti su njegov individualni doprinos.
Osim toga, opus njegovih naučnih dostignuća očigledno je i dalje u strmoj uzlaznoj putanji i od njega se u budućnosti može očekivati još više.
Von Neumann završava svoju poentu rekavši:
„Uveren sam da je njegovo spašavanje iz olupine Evrope jedan od velikih pojedinačnih doprinosa koje iko može dati.“
Uprkos novoj nacističkoj vlasti, Beč je vrlo verovatno nastavio biti privlačan Gödelu, a ni on ni Adele nisu hteli napustiti svoje porodice. Ono što je promenilo njegovo mišljenje bio je sledeći incident, kako je opisano u Dawsonu (2006):
Dok je jednog dana šetao s Adelom u blizini univerziteta, Gödela je napala grupa mladih nacističkih nasilnika. Iz nekog razloga - bilo da je zamenjen za Jevreja, prepoznat kao neko ko se družio sa jevrejskim kolegama ili je jednostavno bio meta napada kao intelektualac - mladići su ga zgrabili, udarili i srušili mu naočale pre nego što ih je Adele uspela oterati udarcima kišobranom.
Adele i Kurt Gödel u Princetonu (Fotografija: Ljubaznošću IAS arhive )
Gödel je bio povučeniji nakon povratka iz Amerike nego prije; ali je i dalje razgovarao s posjetiteljima Kolokvija, [...] posebno s Waldom i Tarskim [...]. Svim članovima Kolokvija Gödel je bio velikodušan s mišljenjima i savjetima o matematičkim i logičkim pitanjima. Dosljedno je brzo i temeljito uočavao problematične tačke i davao odgovore s najvećom preciznošću u minimalnom broju riječi, često otvarajući nove aspekte za ispitivača. Sve je to izražavao kao da se potpuno podrazumijeva, ali često s određenom stidljivošću čiji je šarm budio tople lične osjećaje prema njemu kod mnogih slušalaca. - Odlomak, Sećanja Kurta Gedela Karla Mengera (1981)
Tokom turbulentne decenije koja je obuhvatala 1930-te, Gödel nije uspeo održati dovoljno predavanja da bi obnovio svoju Lehrbefugnis licencu, licencu koja mu je omogućavala da zarađuje novac na Univerzitetu u Beču. Istovremeno, čekajući poziv za vojnu dužnost, bilo je malo verovatno da će mu biti dozvoljeno da napusti zemlju. Ovu poteškoću je saopštio von Neumannu i Flexneru, koji su učinili sve što su mogli da mu pomognu da dobije američku vizu, što bi omogućilo nemačkim vojnim vlastima da ga oslobode (Dawson, 2006). Pišući Flexneru 27. septembra, von Neumann iznosi Gödelove argumente u njegovo ime (Rédei, 2005):
VAN NEUMANN
Von Neumann navodi pet argumenata koje treba izneti u Gödelovo ime. Najzanimljiviji je njegov drugi, koji je u celosti uključen u nastavku:
„Sa savršenim opravdanjem se može tvrditi da je Gödel nezamenjiv za naš obrazovni program. Zaista, Gödel je apsolutno nezamenjiv; on je jedini živi matematičar o kojem bih se usudio izneti ovu tvrdnju.“
On predstavlja veoma važnu granu matematike, formalnu logiku, u kojoj nadmašuje sve ostale u mnogo većem stepenu nego što se to obično dešava u bilo kojoj drugoj grani matematike.
Zaista, čitav moderni razvoj formalne logike koja se tiče "neodlučivih pitanja", rešenje poznate "hipoteze kontinuuma" i sasvim neočekivane veze između ove oblasti i drugih delova matematike, u potpunosti su njegov individualni doprinos.
Osim toga, opus njegovih naučnih dostignuća očigledno je i dalje u strmoj uzlaznoj putanji i od njega se u budućnosti može očekivati još više.
Von Neumann završava svoju poentu rekavši:
„Uveren sam da je njegovo spašavanje iz olupine Evrope jedan od velikih pojedinačnih doprinosa koje iko može dati.“
Uprkos novoj nacističkoj vlasti, Beč je vrlo verovatno nastavio biti privlačan Gödelu, a ni on ni Adele nisu hteli napustiti svoje porodice. Ono što je promenilo njegovo mišljenje bio je sledeći incident, kako je opisano u Dawsonu (2006):
Dok je jednog dana šetao s Adelom u blizini univerziteta, Gödela je napala grupa mladih nacističkih nasilnika. Iz nekog razloga - bilo da je zamenjen za Jevreja, prepoznat kao neko ko se družio sa jevrejskim kolegama ili je jednostavno bio meta napada kao intelektualac - mladići su ga zgrabili, udarili i srušili mu naočale pre nego što ih je Adele uspela oterati udarcima kišobranom.
Adele i Kurt Gödel u Princetonu (Fotografija: Ljubaznošću IAS arhive )
John G. KEMENY
Polusatno predavanje zvučalo je dobro, ali Gödel ga je celo vreme držao stojeći licem okrenutim prema ploči, na kojoj nije ni pisao: "Bilo je jasno da jednostavno nije mogao gledati u oči sa svojom publikom." Gödelova rezerviranost je bila toliko jaka da, čak i nakon što je počeo raditi na teoriji relativnosti, nije mogao sebe naterati da kontaktira Einsteina, kojeg je želeo upoznati, a čija se kancelarija nalazila direktno preko puta njegove.
Državljanstvo
Einstein i Oskar Morgenstern su se pridružili Gödelu na ispitu za američko državljanstvo 5. decembra 1947. godine, kao svedoci.
MORGENSTERN
Vrlo temeljit čovek“ prema rečima njegovog bliskog prijatelja Morgensterna, dr. Gödel je proveo mesece koji su prethodili ovom saslušanju „informišući se o istoriji Severne Amerike kroz ljudska bića“ . Kako se Morgenstern kasnije prisetio: „Prilično uzbuđeno mi je rekao da je, proučavajući Ustav, na svoju žalost, pronašao neke unutrašnje kontradikcije i da može pokazati kako bi na savršeno legalan način bilo moguće da neko postane diktator i uspostavi fašistički režim, što oni koji su sastavili Ustav nikada nisu nameravali.“
Detaljna priča o Gödelovom saslušanju o državljanstvu i 'rupi' za koju je vjerovao da ju je pronašao u Ustavu Sjedinjenih Država razmatrana je u zasebnom biltenu, dostupnom Ovde
Einstein i Gödel „bili su vrlo različiti u gotovo svakom ličnom pogledu“ , prvi je bio „društven, sretan, pun smijeha i zdravog razuma“ , a Gödel „izuzetno ozbiljan, vrlo ozbiljan, prilično usamljen i nepovjerljiv prema zdravom razumu kao sredstvu dolaska do istine“.
GODEL
Sam Gödel je izjavio jednom od Einsteinovih biografa da misli da Einstein "uživao u razgovoru s [njim]" jer je on (Gödel) "često imao mišljenje suprotno njegovom i nije pokušavao sakriti [svoje] neslaganje".
REBECCA GOLDSTEIN
Nakon Einsteinove smrti, Gödelov osećaj izgnanstva mora da se enormno produbio. Kada je Einsteinu njegov lekar naredio da se podvrgne terapiji mirovanja, nije bilo nikoga, kako se Gödel žalio majci, s kim bi mogao razgovarati. Sada trajno neće biti nikoga.
Коментари
Постави коментар